Geometric and Combinatorial Aspects of Statistical Models - Université d'Angers Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Geometric and Combinatorial Aspects of Statistical Models

Aspects Géométriques et Combinatoires de Modeles Statistiques

Tomasz Skalski
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1349830
  • IdRef : 273950460

Résumé

We concern new applications of discrete geometry and combinatorics in modern statistics. First of them focuses on the use of penalized linear regresion methods. We start our discussion with the SLOPE estimator. We examine the notion of the SLOPE pattern, which maintains the information about the support, sign and ranking between the regression coefficients. We provide the conditions, under which SLOPE recovers its pattern when the design matrix is orthogonal. For a general class of fixed design matrices we provide the SLOPE irrepresentability condition, which is necessary and sufficient for the pat tern recovery in the noiseless case, and we illustrate it geometrically. Later on, we consider the asymptotic case. We also study the wider class of penalized estimators, called the polyhedral gauges. Second application concerns the existence of the MLE estimator for discrete exponential families. We give its new characterization based on the notion of the set of uniqueness. Later on, we inspect the size of independent identically distributed samples which is needed to ensure its existence with high probability. For that reason we use the notions from the analysis of discrete hypercubes and apply our results in the environment of random graphs. Last application connects the theory of graphical models in statistics with the notion of graph Laplacian matrices and discretized Wiener processes.
Cette thèse traite des applications de la combinatoire et de la géométrie discrète aux statistiques modernes. Ça commence par les méthodes de régression linéaire pénalisée, en particulier par l’estimateur SLOPE. Nous examinons la notion de schéma SLOPE, qui conserve l’information sur le support, le signe et le classement des coefficients de régression. Nous fournissons les conditions pour la récupération de l’ensemble des variables pertinentes et des groupes en cas orthogonal. Pour une classe générale de matrices de planification fixes, nous fournissons la condition d’irreprésentabilité du SLOPE, qui est nécessaire et suffisante pour la recouvrement du schéma dans le cadre non-bruité et nous illustrons cette propriété géométriquement. Après nous considérons le cas asymptotique. Également, nous étudions la classe plus large des estimateurs pénalisés, appelés les jauges polyédriques. La seconde application s’articule autour de l’existence de l’estimateur MLE pour les familles exponentielles discrètes. Par la suite, nous inspectons la taille des échantillons indépendants identiquement distribués qui est nécessaire pour assurer son existence avec une grande probabilité. Pour cela, nous utilisons les notions issues de l’analyse des hypercubes discrets et appliquons nos résultats à des graphes aléatoires. Le dernier des applications relie la théorie des schémas graphiques en statistique avec la notion de matrices laplaciennes de graphes et de processus de Wiener discrétisés.
Fichier principal
Vignette du fichier
Skalski.pdf (2.09 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04448252 , version 1 (09-02-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04448252 , version 1

Citer

Tomasz Skalski. Geometric and Combinatorial Aspects of Statistical Models. Statistics [math.ST]. Université d'Angers; Politechnika Wrocławska, 2023. English. ⟨NNT : 2023ANGE0026⟩. ⟨tel-04448252⟩
22 Consultations
4 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More